Modelos matemáticos 

Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

 El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:

1. Encontrar un problema del mundo real
2. Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables (dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemática.
3. Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclusiones matemáticas.
4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.

Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.
Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraicamente como gráficamente.

2. Modelos Lineales

Se dice que una función es lineal cuando su gráfica es una línea recta; y por consecuencia tiene la forma:
y = f(x) = mx + b
Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen (el punto en el que la recta interfecta al eje de las "y"). Es importante mencionar que este tipo de funciones crecen a tasa constante; y su dominio e imagen son todos los números reales.

3. Polinomios

Una función es polinomio si tiene la forma:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …… a2x2 + a1x + a0
Donde n representa un entero negativo y los números a0, a1, a2,….. an, son constantes llamadas coeficientes del polinomio. El dominio de todos los polinomios son todos los números reales (-∞, ∞).
Los polinomios se nombran de acuerdo al grado del primer termino. Los polinomios de grado uno son de la forma: P(x) = mx + b, y son funciones lineales. Los polinomios de segundo grado son llamados funciones cuadráticas y presentan la forma P(x) = axx + bx + c; su gráfica es de una parábola.
Una función de tercer grado, es llamada función cúbica, y tiene la forma: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d. A continuación se muestran las gráficas de algunas funciones de polinomios.

4. Funciones potencia

Una función es llamada potencia, cuando tiene la forma: f(x) = xa, donde a es constante. Y hay varios casos:

1. La forma genera de la gráfica depende si n es par o impar; si n es par, la gráfica de f es similar a la parábola y = x2; de lo contrario, la gráfica se parecerá a la función y = x3.
   Es importante mencionar, que en cualquiera que sea el caso, cuando n crece, la gráfica se vuelve más plana cerca de 0, y más empinada cuando Ix I es menor o igual a 1 
   

 

Las dos gráficas anteriores son ejemplos de funciones pares: x2 y x6

Las dos gráficas anteriores son ejemplos de funciones pares: x3 y x5.

2. a= n, n es un entero positivo

La función f(x) = x1/n es una función raíz. Al igual que en el caso anterior, su gráfica depende de n, ya que si n es par su gráfica será similar al de raíz cuadrada; y si n es impar su gráfica será similar al de raíz cúbica.

3. a= 1/n, n es un entero positivo.
4. a= -1

Éste tipo de función es llamada función recíproca, y su forma es f(x) = x -1 o f(x) = -1/x. Y su gráfica corresponde a una hipérbola cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas.

5. Funciones racionales

Una función es llamada racional cuando es una razón o división de dos polinomios.
f(x) = P(x) / Q(x)
Su dominio lo constituyen todos los valores que no hagan a Q(x) = 0, ya que una división es indivisible entre 0.
 

6. Funciones trigonométricas

En el caso de éstas funciones, es conveniente utilizar la medida de radianes; es importante mencionar que cada función tiene una gráfica específica. En el caso específico del seno y coseno, su dominio es (-∞,∞) y su imagen [-1, 1]. Veamos en las gráficas.

7. Funciones exponenciales

Se les llama funciones exponenciales a aquellas que tienen la forma f(x) = ax, donde la base a es una constante positiva. Su dominio es (-∞,∞) y su imagen (0, ∞).
Es importante mencionar que si la base de la función exponencial es mayor a 1, la gráfica será descendente, y si la base se encuentra entre 0 y 1 la gráfica será descendente (pero en el cuadrante contrario).

8. Funciones logaritmos

Son funciones que tienen la forma f(x) = logax, donde la base a es una constante positiva; es importante mencionar que son las funciones inversas a las exponenciales; por lo tanto su dominio es (0, ∞) y su imagen (- ∞, ∞). Veamos ejemplos:

Como podemos observar en las dos gráficas anteriores, a medida que la base del logaritmo es mayor, la gráfica de éste se apega más al eje Y.

9. Funciones trascendentes

En realidad esta clasificación engloba a todas aquellas funciones que no son algebraicas (esto es, las que involucran adición, sustracción, división y multiplicación de variables).
Las funciones trascendentes son las trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, y trigonométricas inversas, entre otras.

Archivo subido por Escamilla Perez Rosalba 

Modelo descriptivo- simulación

Los modelos descriptivos abarcan todas aquellas técnicas de modelado que no comportan la definición de estructuras matemáticas que definen una solución como la deseable para ser implementada. Entre los modelos descriptivos se pueden citar modelos de la teoría de colas e incluso las técnicas de previsión  entre otras.
 Algunos de los modelos descriptivos llevan aparejada una carga matemática importante, mientras que otros su estructura no es de tipo matemático 

- Se puede emplear para mostrar mas gráficamente la situación, para ver en que forma se puede arreglar de nuevo y para determinar los valores de la misma, que están implícitos en las circunstancias atenuantes pero que no son claramente visibles para el observador.

-Si hay opciones, el modelo las mostrara y puede ayudar al observador a evaluar los resultados de una opción sobre los de otra 

- En este modelo solo se intenta describir la situación 

Archivo subido por Amira Nayeli Ruiz Zavaleta 

Modelo deterministico

El modelo matemático determinístico es una clase de modelo matemático cuya función principal es el hacer predicciones de manera correcta, exacta y definida de las cantidades, ya sea dentro de la distribución de probabilidades, como de alternativas; a esta clase de modelos matemáticos se les conoce con el nombre de modelos matemáticos aplicados a los problemas en los que solo existe un estado de la naturaleza, además de que las variables, limitaciones y alternativas se encuentran dispuestas a aceptar las suposiciones, los datos conocidos, los datos definibles, los datos finitos y los predecibles. Según muchos estudiosos matemáticos se sabe que estos modelos, vienen a ser una especie de herramientas o técnicas determinísticas como por ejemplo la programación lineal, el análisis de Markov, estudios de costo/beneficio.Siendo así que un modelo matemático determinístico es utilizado en el caso de que se presente un problema que tenga una condición de certeza supuesta, si esto sucede entonces el modelo acepta el hallazgo de un sólo resultado posible para cada accion. Además es importante recalcar que el modelo matemático determinístico es un modelo en el cual las entradas son capaces de producir de manera invariable las mismas salidas, sin contemplar la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Además este modelo se encuentra relacionado con el origen de entornos simulados por medio de simuladores para poder estudiar las situaciones hipotéticas, así también como para crear sistemas de gestión que disminuyan la incertidumbre. Una de las características del modelo matemático determinístico es la inclusión de la complejidad en las relaciones con mayor presencia de variables y elementos distintos, siendo así que el modelo matemático determinístico hace posible que éste se asemeje a un modelo probabilístico o un modelo estocástico.

• archivo subido por karla patricia reyes palma

Modelo deterministico

El modelo matemático determinístico es una clase de modelo matemático cuya función principal es el hacer predicciones de manera correcta, exacta y definida de las cantidades, ya sea dentro de la distribución de probabilidades, como de alternativas; a esta clase de modelos matemáticos se les conoce con el nombre de modelos matemáticos aplicados a los problemas en los que solo existe un estado de la naturaleza, además de que las variables, limitaciones y alternativas se encuentran dispuestas a aceptar las suposiciones, los datos conocidos, los datos definibles, los datos finitos y los predecibles. Según muchos estudiosos matemáticos se sabe que estos modelos, vienen a ser una especie de herramientas o técnicas determinísticas como por ejemplo la programación lineal, el análisis de Markov, estudios de costo/beneficio.Siendo así que un modelo matemático determinístico es utilizado en el caso de que se presente un problema que tenga una condición de certeza supuesta, si esto sucede entonces el modelo acepta el hallazgo de un sólo resultado posible para cada accion. Además es importante recalcar que el modelo matemático determinístico es un modelo en el cual las entradas son capaces de producir de manera invariable las mismas salidas, sin contemplar la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Además este modelo se encuentra relacionado con el origen de entornos simulados por medio de simuladores para poder estudiar las situaciones hipotéticas, así también como para crear sistemas de gestión que disminuyan la incertidumbre. Una de las características del modelo matemático determinístico es la inclusión de la complejidad en las relaciones con mayor presencia de variables y elementos distintos, siendo así que el modelo matemático determinístico hace posible que éste se asemeje a un modelo probabilístico o un modelo estocástico.

• archivo subido por karla patricia reyes palma

Modelo Cuantitativo.

El modelo matemático cuantitativo, también conocido como modelo matemático numérico, es utilizado para poder representar los diferentes aspectos del sistema modernizado; esta acción la realiza a través de números, fórmulas, algoritmos matemáticos, apoyos que sirven para poder relacionar los diferentes valores numéricos dados. 

Entonces a través de el uso del modelo matemático cuantitativo se puede hacer el cálculo de un proceso físico, como también se puede hallar los cambios cuantitativos del sistema modelado. Cabe destacar que este tipo de modelo matemático hacer uso también de símbolos ( los cuales representa a números).

Un modelo cuantitativo cuando termina de realizar y desarrollar un modelo cualitativo, representa a este de una manera que haga que sea entendida en la realidad, a partir de la inclusión de números y expresiones matemáticas, este proceso lo que hace es facilitar la depuración del modelo conceptual, en el caso de que se produzca una falta de información numérica, es posible seguir tres acciones que son las siguientes:

* Cambiar el modelo cualitativo e incluir en este solamente los datos con los que se cuentan.

* Introducir valores supuesto, basándose en la experiencia personal y en referencias bibliográficas.

* Determinar los valores numéricos que se necesitan, a través de la realización de un estudio del problema.

Es importante saber que cuando se utiliza un modelo matemático cuantitativo, es necesario averiguar las conexiones entre distintos parámetros de producción y la comparación de estos, acerca de la actitud del sistema. 

Para tener más claro, el modelo matemático de este tipo se aplican para hallar las tasas de mortalidad, de fertilidad,así también para determinar las consecuencias de las modificaciones que se harán sobre cierto punto.

Archivo subido por Colorado Cortés Monica Jacquelin.

Modelo Cualitativo

El modelo matemático cualitativo es aquel tipo de modelo matemático que se caracterizan por usar símbolos, los cuales representan a las cualidades no numéricas, como por ejemplo la teoría de conjuntos; también el modelo cualitativo conocido con el nombre de modelo matemático conceptual, aparte de los símbolos, hacen uso de descripciones causales, las cuales ayudaran a predecir la dirección del sistema, así como también conocer si aumentará o disminuirá en su magnitud.

Uno de los objetivos del modelo matemático cualitativo es el disminuir la incertidumbre que se encuentra incluida en la toma de decisiones, así como también para investigar nuevos servicios, sin olvidar claro  el avance de la producción. Además los modelos matemáticos cualitativos son capaces de determinar las relaciones entre los distintos factores o componentes de un sistema. 

Es importante mencionar que estos modelos no cuantifican las relaciones existentes en el sistema solamente ayudan a comprender el funcionamiento del proceso que se sigue para llegar al resultado esperado. Las ventajas con las que cuenta un modelo matemático cualitativo son las siguientes:                                                                                            

- Dar a conocer las características esenciales del sistema, de forma clara y precisa.

- Es difícil que se altere la representación física.

- No es necesario que este sea recordado, ya que puede ser replicado fácilmente.

- Se considera como la forma más simple de transferir a las personas a  través del tiempo y del espacio,  así como las ideas y los conceptos.

- Es imposible cambiar o alterar la representación elaborada, porque el concepto debe ser constantemente representado.

La base de cualquier modelo matemático cualitativo son los patrones históricos previo-volumen y de la psicología del mercado, este modelo también ayuda a explicar las desviaciones inesperadas de los montos calculados en el modelo matemático cuantitativo. La finalidad que tiene el estudio que hace este modelo cualitativo es saber con exactitud el sector donde  se implantaría el producto para el cual se hace el estudio así como el posicionamiento de la competencia.

Entonces en resumen, un modelo matemático cualitativo se realiza con la finalidad de obtener la correcta información que se requiere para iniciar una estrategia de comunicación y tener un buen posicionamiento del producto.

• Archivo subido por Sandra Luz Colorado Romero 

Modelos Probabilisticos

Modelo probabilístico o estadístico es la forma que pueden tomar un conjunto de datos obtenidos de muestreos de datos con comportamiento que se supone aleatorio.
Un modelo estadístico es un tipo de modelo matemático que usa la probabilidad, y que incluye un conjunto de asunciones sobre la generación de algunos datos muestrales, de tal manera que asemejen a los datos de una población mayor.
Las asunciones o hipótesis de un modelo estadístico describen un conjunto de distribuciones de probabilidad, que son capaces de aproximar de manera adecuada un conjunto de datos. Las distribuciones de probabilidad inherentes de los modelos estadísticos son lo que distinguen a los modelos de otros modelos matemáticos deterministas.
Un modelo estadístico queda especificada por un conjunto de ecuaciones que relacionan diversas variables aleatroias, y en las que pueden aparecer otras variables no aleatrias. Como tal "un modelo es una representación formal de una teoría"
Todos los tests de hipótesis estadísticas y todos los estimadores estadísticos proceden de modelos estadísticos. De hecho, los modelos estadísticos son una parte fundamentalmente de la inferencia estadística.

Distribuciones discretas 

Distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".
Distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Suponga que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría Ay N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x () elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.

Distribuciones continuas 

Distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales
Distribución F es una distribución de probabilidad continua. También se le conoce como distribución F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribución F de Fisher-Snedecor (por Ronald Fisher).

Archivo subido por Vanessa Lizeth Baez Ortigoza